Памяти МАМЫ
Суть противоречия. Равенство Ферма противоречиво по вторым цифрам основания А.
Все целые числа рассматриваются в системе счисления с простым основанием n>2.
Обозначения: A', A'' – первая, вторая цифра от конца в числе A;
A[2] – двузначное окончание числа A (т.е. A[2]=A mod n2).
Рассмотрим равенство Ферма в базовом случае (его свойства 2°-3° доказываются здесь: viXra:1707.0174) для взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2:
1°) An=Cn-Bn [=(C-B)P], где (как известно)
2°) A'≠0, C-B=an, P=pn, A=ap, p'=1, a'≠0, an'=a', a' n-1'=1 (малая теорема);
3°) (A+B-C)[2]=0, откуда (ap)[2]=an[2] (3a°) и, следовательно, p[2] =an-1[2] (3b°).
4°) Если a'≠2 и p''=0, то мы умножим почленно равенство 1° на такое gnn, что a'=2 и p''≠0. Свойства 2°-3° сохраняются, и мы оставляем обозначения чисел прежними.
А теперь само Доказательство ВТФ.
Представим окончания a[2] и p[2] в виде: a[2]=(xn+a'n)[2] и p[2]=yn+1, где x и y – цифры.
Сначала подставим эти значения окончаний в левую часть равенства 3a°:
5°) [(xn+a'n)(yn+1)][2]=a'n[2], откуда
5a°) (a'nyn+xn)[2]=0, или (см. 2°) a'y+x=0 (mod n).
А теперь подставим значение a[2] в правую часть равенства 3b°:
6°) (xn+a'n)n-1[2]=[(n-1)xna' n-2+1][2]= (-nxa' n-2+1)[2]= (-nxa' n-1/a'+1)[2]. И из 3b° имеем:
6a°) -xa' n-1/a'+y=0 (mod n), или -xa' n-1+a'y=0 (mod n), или -x+a'y=0 (mod n),
Из 5a° и 6a° следует, что x=y=0, что противоречит 2°. Из чего следует истинность ВТФ.
4 сентября 2017
============
P.S. Существует доказательство без операции 4°.
| 
