Великая теорема Ферма. Школьное доказательство

Памяти МАМЫ

Все целые числа рассматриваются в системе счисления с простым основанием n>2.

Обозначения: A', A'', A_(k) – первая, вторая, k-я цифра от конца числа A;

A_[k] – k-значное окончание числа A (т.е. A_[k] =A mod n^k); nn=n*n=n^2.

Напомню свойства равенства Ферма для взаимно простых натуральных A, B, C:

1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P] //и B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q],

C^n=A^n+B^n [=(A+B)R]//. Откуда

1a°) (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, где наибольшие общие делители соответственно в парах чисел (A, C-B), (B, C-A), (C, A+B) мы обозначим буквами a, b, c. Тогда,

2°) если (ABC)'≠0, то C-B=a^n, P=p^n, A=ap; C-A=b^n, Q=q^n, B=bq; A+B=c^n, R=r^n, C=cr;

3°) число U=A+B-C=un^k, где k>1, откуда (A+B)-(C-B)-(C-A)=2U;

3a°) и если, например, B_[k]=0, но B_[k+1]≠0, то (C-A)‑[kn-1]=0, где kn-1>k+1, и в равенстве

3b°) [(A+B)-(C-B)-(C-A)]_[k+1]=(2U)_[k+1] (см. 3°) число C-A фактически отсутствует.

На старте (то есть в первом цикле – см. ниже начало доказательства), при k=2

4a-1°) A_[2]=a^n_[2]=a'^n_[2], B_[2]=b^n_[2]=a'^n_[2],

C_[2]=c^n_[2]=a'^n_[2]; следовательно (см. 5°),

4b-1°) A^n_[3]=a'^{nn}_[3], B^n_[3]=b'^{nn}_[3] ; C^n_[3]=c'^{nn}_[3];

следовательно (см. 1° и 2°),

4c-1°) a^{nn}_[3]=(c^{nn}_[3]-b^{nn}_[3])_[3], откуда (из формул разложения и 2°)

4d-1°) a^{nn}_[3]={(c^n_[3]-b^n_[3])p^n_[3]}_[3] и

(c^{nn}_[3]-b^{nn}_[3])_[3]={(c^n_[3]-b^n_[3])p^n_[3]}_[3].

5°) Цифра A^n_(k+1) однозначно определяется окончанием A_[k] (простое следствие из бинома Ньютона). То есть окончания a^n_[2],

a^{n^2}_[3] и т.д. не зависят от цифры a''! (Решающая лемма: возможно, ее следует считать Средней теоремой Ферма.)

А теперь само Доказательство ВТФ.

/Окончание следует./