Конечно, школьную программу за 5-8 классы средней школы хотя бы на троечку знать нужно. А точнее: нужно иметь представление о том, что такое степень, бином Ньютона, простое число, счисление и его основание. Конечно, для понимания доказательств нужных свойств равенства Ферма требуется отличное знание школьной программы, но я предлагаю поверить мне на слово в истинность приводимых фактов, ну а желающие могут либо прочитать их доказательство здесь: https://vixra.org/pdf/1707.0174v1.pdf, либо же доказать эти простые свойства самостоятельно.

Итак, после простейших преобразований равенства Ферма 
1*) aⁿ+bⁿ-cⁿ=0,
с очень интересным свойством его чисел - двузначные окончания чисел a, b, c равны двузначным окончаниям их степеней aⁿ, bⁿ и cⁿ, которые, согласно малой теореме Ферма, равны двузначным окончаниям степеней их последних цифр a’ⁿ, b’ⁿ и c’ⁿ - числа a, b, c, не кратные простому основанию счисления n, могут быть представлены в виде: 
a = a’ⁿ + An², b = b’ⁿ + Bn², с = с’ⁿ + Cn². 

И после подстановки этих значений в равенство Ферма, затем раскрытия биномов Ньютона -
a^n = a’ⁿⁿ + (n³)*Aa’^n(n-1) + (n⁵)*X,
b^n = b’ⁿⁿ + (n³)*Bb’^n(n-1) + (n⁵)*Y,
с^n = с’ⁿⁿ + (n³)*Cс’^n(n-1) + (n⁵)*Z -
и последующего объединения чисел в две группы: в первую - только степени последних цифр, а во вторую - все остальные числа, равенство Ферма по пятизначным окончаниям принимает вид:
2*) [a’ⁿⁿ + b’ⁿⁿ - c’ⁿⁿ] + (n³)*(A’’ + B’’ - C’’)D’’ + (n⁵)*S = 0. 
Поскольку нас интересуют только пятизначные окончания чисел, то последний член можно не учитывать..

Во втором слагаемом нам важны лишь двузначные окончания чисел (A’’+B’’-C’’) и D’’. При этом число D оканчивается на 01, т.к. согласно малой теореме, все три числа a’^n(n-1), b’^n(n-1), c’^n(n-1) занчиваются на 01, поскольку числа a’^n-1, b’^n-1, c’^n-1 оканчиваются на 1.

Ну и из равенства следует, что число [a’ⁿⁿ + b’ⁿⁿ - c’ⁿⁿ] оканчивается на 3 нуля.

Таким образом, из равенства 2* вытекает равенство нулю двузначного окончания суммы двузначных окончаний значимых частей чисел 
3*) [a’ⁿⁿ + b’ⁿⁿ + c’ⁿⁿ] + (A’’ + B’’ - C’’) =0.

И вот с этого места начинается по сути и САМО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО великой теоремы.

Смотрите: при умножении равенств 1* и, следовательно, 3* на число dⁿ первое слагаемое в 3* умножается на dⁿ, а двузначное окончание второго слагаемого умножается ЛИШЬ на d! Поэтому, ЕСЛИ d однозначно, а вторая цифра у числа dⁿ не равна нулю, то после умножения равенства Ферма на такое dⁿ равенство 3* ПРЕВРАЩАЕТСЯ В НЕРАВЕНСТВО. И этого не произошло бы, если бы выражение 1* было истинным равенством.

Ну а однозначное число d, у которого вторая цифра у степени dⁿ не равна нулю, заведомо существует, что легко доказывается методом от противного. 

Второй случай - когда одно из чисел a, b, c кратно n^k, доказывается еще проще, если предварительно преобразовать (kn-1)-значное окончание одного из чисел в 1.

Вот и закончилась эпупея с самым великим интеллектуальным явлением в истории.

Забавно, что руководство самого крупного матфорума dxdy удалило доказательство и теорему о второй ненулевой цифре степени, и само доказательство ВТФ. Бедные студенты!...