Памяти МАМЫ
Теорема Ферма. Доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.
Обозначения и простейшие леммы:
A' – последняя цифра числа A; A[t] – t-значное окончание числа A.
L.1. Лемма 1. A'=An'. Следствия: если A[t]=B[t], то An [t+1]=Bn [t+1]; и наоборот.
L.2. Следствие 1. An[2]=A'n[2], Ann[3]=A'nn[3], Annn[4]=A'nnn[4],... An^k[k+1]=A'n^k[k+1].
L.3. Следствие 2. Если A[2]=bn[2], то An[3]=bnn[3] и An^k[k+2]=b'n^(k+1)[k+2].
L.4. Лемма 2. Если a'≠0, то существует такое g[2], что a[2]*g[2]º2n[2] (mod n2).
Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где A'≠0,
1°) An=Cn-Bn и An=(C-B)P, где, как известно,
1a°) C-B=an [и P'=1 и P[2]=01];
1b°) (A+B-C)[2]º0 (mod n2) (простое следствие из малой теоремы Ферма);
1c°) A[2]=an[2] (следствие из 1b° и 1a°); следовательно (см. L.3)
1d°) An[3]=ann[3].
Доказательство ВТФ
Умножим равенство 1° на gnn, где g есть решение уравнения в L.4. При этом обозначения всех чисел с новыми значениями оставим для удобства прежними. Теперь
2°) a[2]ºA[2] ºAn[2]ºan[2] º(C-B)[2]º2n[2] (mod n2).
Поскольку в 1d° a[2]=An[2], то, согласно L.3, An[4]=Annn[4]. Далее аналогично:
поскольку в числе Annn[4] A[2]=an[2], то теперь An[5]=an^4[5], где снова a[2]=An[2]
и мы делаем следующую подстановку. И так до бесконечности.
То есть числа A и a бесконечны и равенство 1° невозможно. ВТФ доказана.
Мезос, 1 июля 2016
Удобочитаемый текст в Worde:
http://rm.pp.net.ua/publ/ehlementarnoe_dokazatelstvo_velikoj_teoremy_ferma/21-1-0-1778
|