Памяти МАМЫ

Теорема Ферма. Доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.

Обозначения и простейшие леммы:

A' – последняя цифра числа A; A_[t] – t-значное окончание числа A.

L.1. Лемма 1. A'=Aⁿ'. Следствия: если A_[t]=B_[t], то Aⁿ _[t+1]=Bⁿ _[t+1]; и наоборот.

L.2. Следствие 1. Aⁿ_[2]=A'ⁿ_[2], Aⁿⁿ_[3]=A'ⁿⁿ_[3], Aⁿⁿⁿ_[4]=A'ⁿⁿⁿ_[4],... A^{n^k}_[k+1]=A'^{n^k}_[k+1].

L.3. Следствие 2. Если A_[2]=bⁿ_[2], то Aⁿ_[3]=bⁿⁿ_[3] и A^{n^k}_[k+2]=b'^{n^(k+1)}_[k+2].

L.4. Лемма 2. Если a'≠0, то существует такое g_[2], что a_[2]*g_[2]º2ⁿ_[2] (mod n²).

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где A'≠0,

1°) Aⁿ=Cⁿ-Bⁿ и Aⁿ=(C-B)P,  где, как известно,

1a°) C-B=aⁿ  [и P'=1 и P_[2]=01];

1b°) (A+B-C)_[2]º0 (mod n²) (простое следствие из малой теоремы Ферма);

1c°) A_[2]=aⁿ_[2] (следствие из 1b° и 1a°); следовательно (см. L.3)

1d°)  Aⁿ_[3]=aⁿⁿ_[3].

Доказательство ВТФ

Умножим равенство 1° на gⁿⁿ, где g есть решение уравнения в L.4. При этом обозначения всех чисел с новыми значениями оставим для удобства прежними. Теперь

2°) a_[2]ºA_[2] ºAⁿ_[2]ºaⁿ_[2] º(C-B)_[2]º2ⁿ_[2] (mod n²).

Поскольку в 1d° a_[2]=Aⁿ_[2], то, согласно L.3, Aⁿ_[4]=Aⁿⁿⁿ_[4]. Далее аналогично:

поскольку в числе Aⁿⁿⁿ_[4] A_[2]=aⁿ_[2], то теперь Aⁿ_[5]=a^{n^4}_[5], где снова a_[2]=Aⁿ_[2]

и мы делаем следующую подстановку. И так до бесконечности.

То есть числа A и a бесконечны и равенство 1° невозможно.  ВТФ доказана.

Мезос, 1 июля 2016

Удобочитаемый текст в Worde:

http://rm.pp.net.ua/publ/ehlementarnoe_dokazatelstvo_velikoj_teoremy_ferma/21-1-0-1778