N.B.! Все числа во всех текстах (и в леммах, и в доказательстве ВТФ) записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и натуральные числа A, B, C (с последними цифрами a, b, c) являются взаимно простыми и число A не кратно n.

 

L.1. Для любой положительной цифры d и любой заданной положительной цифры e существует такая цифра g, что число dg оканчивается на цифру e.

 

L.2. В таблице умножения ag (g=1, 2, … n-1) последние цифры не повторяются.

 

L.3. Вторая цифра (от конца) числа A не участвует в формировании 2-значного окончания числа A^n (следствие из бинома Ньютона для простой степени n).

 

L.4. Если число A+B кратно n, то число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R делится на n и не делится на n^2.

 

Известно (с 17 в.), что в равенстве Ферма

1°) A^n+B^n=C^n, или (C-B)P+(C-A)Q=(A+B)R L.5. те из чисел C-B, C-A, A+B, P, Q, R, которые не кратны n, есть n-е степени, а

 

L.6. их 2-значные окончания являются 2-значными окончаниями чисел a^n, b^n, c^n, p^n, q^n, r^n.

 

L.7. 2-значные окончания чисел P, Q, R, не кратных n, равны 01, а числа, кратного n, равно 10.

 

L.8. Свойства L.5, L.6, L.7 не меняются при умножении равенства 1° на g^{n^3} (0>g>n).

 

L.9. Если в числе A цифра a=1, то 2-значное окончание числа A^n равно 01. L.10. Число a^n оканчивается на цифру a (одна из форм малой теоремы Ферма).

 

=================

 

Доказательство ВТФ

 

Лемма. Вторые (от конца) цифры в числах A^n, B^n, C^n есть нули.

 

Действительно, поскольку в формировании 2-значных окончаний чисел A^n, B^n, C^n участвуют лишь последние цифры a, b, c чисел A, B, C, то равенство C^n-B^n=(C-B)P по 2-значным окончаниям имеет вид:

 

2°) c^n-b^n=(c-b)P (mod n^2), где P, согласно L.7, оканчивается на 01, и, следовательно, по 2-значным окончаниям равенство 2° имеет вид:

 

3°) c^n-b^n=c-b (mod n^2). Если оба числа c-a и a+b не кратны n, то существует также равенства

 

3a°) c^n-a^n=c-a и a^n+b^n=a+b, которые вместе с равенством 3° образуют систему линейных уравнений с условными неизвестными a, b, c, с параметрами a^n, b^n, c^n и с простым решением:

 

4°) a=a^n, b=b^n, c=с^n (mod n^2), или a^n=a, b^n=b, с^n=c (mod n^2).

 

5°) Но вторые цифры в однозначных числах a, b, c есть нули. Следовательно, и вторые цифры в числах a^n, b^n, с^n также есть нули. Если же, например, число B кратно n, то для него равенство 2° имеет вид:

 

2a°) c^n-a^n=(c-a)Q, где число (c-a)Q является 2-значным окончанием числа (C-A)Q, которое даже в самом плохом случае – при n=3 – делится на n^3, а число C-A делится на n^2. И по 2-значным окончаниям мы опять-таки имеем равенство:

 

3b°) c^n-a^n=c-a, и решение 4° системы уравнений 3°-3a° остается тем же самым, что свидетельствует об истинности Леммы.

 

 Поскольку от умножения равенства 1° на числа g^{n^3}, где g=1, 2, … n-1 (с получением n-1 эквивалентных равенств Ферма, в которых последние цифры в каждой новой степени A^n составляют полный набор всех цифр в простой базе n – см. L.2), степенные свойства не меняются, то, согласно Лемме, в каждой степени 1^n, 2^n, … (n-1)^n вторая цифра есть ноль и, следовательно, сумма S=1^n+2^n+...+(n-1)^n оканчивается на d0, где цифра d=(n-1)/2. Однако непосредственное вычисление дает двузначное окончание 00 (что видно из суммы S=[1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n] +...).

 

Полученное противоречие говорит об истинности Великой теоремы Ферма.

 

(8 сентября 2011)