Не может быть! И все-таки… № 11. Формула простого числа (материал для размышления).

 Мировое математическое сообщество не раз ставило перед математиками сложнейшие задачи, не имея никакой гарантии в их разрешимости, но от решения двух проблем оно отказалось напрочь, отнеся их к разряду заведомо не разрешимых, как и поиск «вечных двигателей».

 Первая из них – Великая теорема Ферма, сложное решение которой с помощью современных методов все-таки было найдено и признано верным.

 Вторая проблема – поиск Формулы простого числа – представляется гораздо более сложной. К сожалению, формулировка проблемы столь расплывчата, что не позволяет поставить четкую цель, без чего и достигнуть ее невозможно. Это все равно как «пойди туда, не знаю куда»…

 Тем не менее, большинство любителей математики представляют себе задачу так: дать простой алгоритм (или формулу) непосредственного вычисления простого числа исходя из каких-то чисел меньшего значения. Так, Пьер Ферма предложил такую формулу: сначала число 2 возведем в целую положительную степень (2, 3, и т.д.) с получением числа р (4, 8, и т.д.), затем число 2 возведем в степень р с получением числа q (16, 256, и т.д.) и, наконец, прибавим к числу q единицу (17, 257, и т.д.). (Эта формула была опровергнута только в середине ХХ века.)

 Ввиду отрезанности от математического мира я не могу рассказать о других формулах, описывающих иногда до 40 простых чисел. Но зато покажу нечто большее, а именно: странную формулу, описывающую ВСЕ простые числа в интервале от некоторого простого числа q до (q + 1) в квадрате (точнее: до следующего простого числа в квадрате). Это означает следующее: если мы имеем таблицу простых чисел, скажем, до тысячи, то формула позволяет вычислять простые числа по меньшей мере до миллиона и НИКАКОЕ значение функции в этом интервале заведомо не окажется составным числом!

Вот мой алгоритм.
 
Формула простых чисел для интервала [q; (q+1)^2], где q – простое число.

1. Возьмем множество Q_k первых k простых чисел в каких-то степенях:
Q_k = (q_0 = 1^0, q_1 = 2^n1, q_2 = 3^n2, q_3 = 5^n3, q_4 = 7^n4, … q_k = u^nk)
(здесь выражение «_i» означает нижний индекс, а «^ni» – показатель степени);

2. Выберем из этого множества произвольное подмножество из s элементов (0 < s < k) и составим их произведение П_s;

3. Пусть П_t – произведение оставшихся t = k – s элементов.

И теперь
ВCE числа q = П_s – П_t (являющиеся функцией от сочетания s и от степеней n0, n1, … nk) в интервале (q_k ; (q_k)^2) [и даже в интервале (q_k ; (q_k + 1)^2)] есть ПРОСТЫЕ (обозначим их множество буквой Q).
Пример:
Q_4 :
q_0 = 1^0, q_1 = 2^n1, q_2 = 3^n2, q_3 = 5^n3, q_4 = 7^n4.
Интервал:
7 < q < 9^2 = 81 [< 121].

Q :
11 = 3 x 7 – 2 x 5,
13 = 2^2 x 7 – 3 x 5,
17 = 5 x 7 – 2 x 3^2,
19 = 7^2 – 2 x 3 x 5,
23 = 2 x 3 x 5 – 7,
29 = 5 x 7 – 2 x 3,
31 = 3^2 x 5 – 2 x 7,
37 = 2 x 3 x 7 – 5,
41 = 3 x 5 x 7 – 2^6,
43 = 2 x 5 x 7 – 3^3,
47 = 3 x 5^2 – 2^2 x 7,
53 = 3^2 x 7 – 2 x 5,
59 = 2^4 x 5 – 3 x 7,
61 = 3 x 5^2 – 2 x 7.
67 = 2^4 x 7– 3^2 x 5
71 = 2^3 x 3 x 5 – 7^2,
73 = 3 x 5 x 7 – 2^5,
79 = 2^2 x 3 x 7 – 5,
[А также далее:
83 = 5^3 – 2 x 3 x 7,
89 = 3 x 5 x 7 – 2^4,
97 = 3 x 5 x 7 – 2^3,
101 = 3 x 5 x 7 – 2^2,
103 = 3 x 5 x 7 – 2,
107 = 3^3 x 5 – 2^2 x 7,
109 = 3^3 x 7 – 2^4 x 5,
113 = 2^2 x 5 x 7 – 3^3,
И лишь после этого формула дает сбой: 2 x 3^2 x 7 – 5= 121 = 11 х 11.]
Здесь min(q) = 11.

Но теперь мы можем записать множество
Q_5 :
q_0 = 1^0, q_1 = 2^n1, q_2 = 3^n2, q_3 = 5^n3, q_4 = 7^n4, q_5 = 11^n5
и вычислить простые числа в интервале
11 < q < 13^2 = 144.
И так далее…